Question

若z∈C，arg（z²-4）=

5π

6

，arg（z²+4）=

π

3

，則z的值是______．

Answer 1

設z=x+yi（x、y∈R），則z²=（x+yi）²=（x²-y²）+2xyi
∴z²-4=（x²-y²-4）+2xyi，z²+4=（x²-y²+4）+2xyi，
∵arg（z²-4）=

5π

6

，arg（z²+4）=

π

3

，
∴tan

5π

6

=

2xy

x2-y2-4

=-

3

3

…①，tan

π

3

=

2xy

x2-y2+4

=

3

…②．
聯解①②，得

x=1 y= 3

或

x=-1 y=- 3

，所以z=1+

3

i或z=-1-

3

i
故答案為：±（1+

3

i）