Question

（本小題滿分14分）函數.
（1）若函數內單調遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數上的最小值.

Answer 1

（1）a的取值范圍為［1,+∞)
（2）f(x)在［1,2］上的最小值為
①當0＜a≤時，f(x) _min=ln2-；
②當＜a＜1時，f(x) _min=-lna+1-.
③當a≥1時，f(x) _min=0

解：f′(x)=  (x＞0). ………………………………………………………2分
（1）由已知，得f′(x)≥0在［1,+∞)上恒成立，
即a≥在［1,+∞)上恒成立
又∵當x∈［1,+∞)時，≤1，
∴ a≥1. 即a的取值范圍為［1,+∞) …………………………………………………6分
（2）當a≥1時，∵ f′(x)＞0在（1，2）上恒成立，
f（x）在［1，2］上為增函數
∴ f（x）_min="f(1)=0" …………………………………………………………………………………8分
當0＜a≤，∵f′(x)＜0在（1，2）上恒成立，這時f(x)在［1,2］上為減函數
∴ f（x）_min=f(2)=ln2-.……………………………………………………………10分
當＜a＜1時，?
∵x∈［1，)，f′(x)＜0； x∈(，2］，f′(x)＞0，
∴ f(x) _min=f()=-lna+1-.……………………………………………………12分
綜上，f(x)在［1,2］上的最小值為
①當0＜a≤時，f(x) _min=ln2-；
②當＜a＜1時，f(x) _min=-lna+1-.
③當a≥1時，f(x) _min="0" ……………………………………………………………14分