Question

利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇，使花壇全部都能噴到水．已知每個噴水器的噴水區域是半徑為l0米的圓，問如何設計（求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬），才能使矩形花壇的面積最大？

Answer 1

分析：先畫出幾何圖，再設AD=xm，則PQ=AD=xm，這樣可表示出O₁E，O₁O₂，可得到AB，最后表示出矩形的面積S_矩形ABCD=x•2

400-x2

，（0＜x＜20），兩邊平方后去根號，然后利用二次函數的頂點式求出滿足條件的x的值，這樣確定矩形的各邊，得到設計方案．

解答：解：如圖，
O₁，O₂是兩個噴水器的噴水區域為半徑為l0米的圓的圓心，ABCD是設計的矩形花壇；設AD=xm，則PQ=AD=xm．
在直角三角形O₁EQ中，O₁E=

O 1Q2-EQ 2

=

102- ( x 2 ) 2

=

1

2

400-x 2

，
∴圓心距O₁O₂=2O₁E=

400-x2

，AB=2O₁O₂=2

400-x2

，
∴S_矩形ABCD=x•2

400-x2

，（0＜x＜20），
∴S²_矩形ABCD=4x²（400-x²）=-4（x²-200）²+160000．
∴當x²=200，S²_矩形ABCD有最大值．此時x=10

2

m，S的最大值為400．
因此符合要求的設計是兩個噴水器的距離為O₁O₂=2O₁E=

400-x2

=

400- 200

=10

2

m，矩形的兩邊長AD=10

2

m，AB=20

2

m，
矩形花壇的面積最大．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用及圓周角定理，同時考查了矩形的性質和運用二次函數求最值的方法．