Question

橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，點P（x，y）是橢圓上的一個動點，若2x+

3

y的最大值為10，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由離心率算出a=2c且b=

3

c，因此通過三角換元得2x+

3

y=5csin（θ+φ），其中tanφ=

4

3

．根據最大值為10得到c=2，由此即可得到該橢圓的標準方程．

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵離心率e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，可得b²=a²-c²=3c²，得b=

3

c
點P（x，y）是橢圓上的一個動點，
設x=acosθ=2ccosθ，y=bsinθ=

3

csinθ
∴2x+

3

y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ），其中tanφ=

4

3

∵2x+

3

y的最大值為10，
∴5c=10，可得c=2，所以a=4，b=2

3

因此橢圓的標準方程為：

x2

16

+

y2

12

=1

點評：本題給出離心率為

1

2

，其上一點P（x，y）滿足2x+

3

y的最大值為10的情況下求橢圓方程，著重考查了橢圓的基本概念、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．