Question

11．已知，在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（1）求角A的大小；
（2）設△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據正弦定理，化簡整理得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，結合sinB≠0解出tanA=$\sqrt{3}$，從而可得A的值．
（2）由三角形的面積公式，從而解出bc=4，再結合基本不等式求最值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）∵asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
∴由正弦定理可得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
又∵sinB≠0，
∴可得：tanA=$\sqrt{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴解得：bc=4，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-bc}$≥$\sqrt{2bc-bc}$=$\sqrt{bc}$=2，當且僅當b=c=2時等號成立．
綜上，邊a的取值范圍為[2，+∞）．

點評 本題給出三角形的邊角關系，求角A的大小，并在已知面積的情況下求邊a的取值范圍．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面積公式和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．