Question

現有若干枚形狀完全相同的硬幣，已知其中一枚略重，其余各枚重量均相同，要求使用天平（不用砝碼），將略重的那枚硬幣找出來．小王的方案是：首先任取兩枚放在天平兩側進行稱量，若天平不平衡，則重的那邊為略重的那枚硬幣：若天干平衡，將兩枚都取下，從剩下的硬幣中再任取兩枚放在天平兩側進行稱量，如此進行下去，直到找到那枚略重的硬幣為止．若小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬幣的概率為．
（I ）請問共有多少枚硬幣？
（II）設ξ為找到略重那枚硬幣時己稱量的次數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬幣的概率為建立等式，解之即可；
（II）ξ的取值為1，2，3，4，然后根據等可能事件的概率公式分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）設共有n枚硬幣，根據題意得
P₁==，解得n=9．…（2分）
（Ⅱ）ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==
P（ξ=4）==．…（10分）
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P

∴Eξ=1×+2×+3×+4×=．…（12分）
點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列和數學期望，以及等可能事件的概率，同時考查了計算能力，屬于中檔題．