Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E為BC的中點．
（1）求證：PE⊥DE；
（2）求三棱錐C-PDE的體積；
（3）探究在PA上是否存在點G，使得EG∥平面PCD，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AE，矩形ABCD中可證出DE⊥AE，由PA⊥平面ABCD證出PA⊥DE，從而得到DE⊥平面PAE，所以有PE⊥DE；
（2）三棱錐C-PDE即三棱錐P-CDE，算出S_△DCE=

1

2

，根據PA是三棱錐P-CDE的高，利用錐體體積公式即可算出三棱錐C-PDE的體積；
（3）取PA，PD的中點G，H，連接EG、GH、CH．利用矩形ABCD和三角形中位線定理，證出四邊形ECHG是平行四邊形，從而證出EG∥CH，結合線面平行判定定理，可得EG∥平面PCD．

解答：解：連接AE，
∵E為BC的中點，EC=CD=1，∴△DCE為等腰直角三角形，
由此可得∠DEC=45°，同理∠AEB=45°，
∴∠AED=180°-（∠DEC+∠AEB），即DE⊥AE，…（2分）
又∵PA⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，∴PA⊥DE，…（3分）
又∵AE∩PA=A，∴DE⊥平面PAE，
又∵PE?平面PAE，∴PE⊥DE．…（5分）
（2）由（1）知△DCE為腰長為1的等腰直角三角形，
∴S_△DCE=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵PA⊥平面ABCD，即PA是三棱錐P-CDE的高，
∴V_C-PDE=V_P-CDE=

1

3

×S_△DCE×PA=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．…（8分）
（3）在PA上存在中點G，使得EG∥平面PCD，理由如下：
取PA、PD的中點G、H，連接EG、GH、CH．…（9分）
∵G、H是PA，PD的中點，∴△PAD中，可得GH∥AD且GH=

1

2

AD，…（10分）
又∵E是BC的中點，且四邊形ABCD為矩形，
∴EC∥AD且EC=

1

2

AD，…（11分）
∴EC、GH平行且相等，可得四邊形ECHG是平行四邊形…（12分）
∴EG∥CH，
又∵CH?平面PCD，EG?平面PCD，…（12分）
∴EG∥平面PCD．…（11分）

點評：本題在特殊的四棱錐中，證明線線垂直并探索線面平行，著重考查了空間直線與平面垂直、平行的位置關系和錐體體積求法等知識，屬于中檔題．