Question

某電腦生產企業生產一品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺．當筆記本電腦銷售價為6000元/臺時，月銷售a臺；根據市場分析的結果表明，如果筆記本電腦的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月銷售量減少的百分率為x²．記銷售價提高的百分率為x時，電腦企業的月利潤是y（元）．
（1）寫出月利潤y（元）與x的函數關系式；
（2）試確定筆記本電腦的銷售價，使得電腦企業的月利潤最大．

Answer 1

分析：（1）根據題意，算出每個電腦的利潤，計算出銷售量，兩者相乘即可得到月利潤y（元）與x的函數關系式．
（2）研究函數的單調性，求函數取最值時x 的取值即可，

解答：解：（1）依題意，銷售價提高后為6000（1+x）元/臺，月銷售量為a（1-x²）臺…（2分）
則y=a（1-x²）[6000（1+x）-4500]，
即y=1500a（-4x³-x²+4x+1）（0＜x＜1）．                      
（2）y′=1500a（-12x²-2x+4）
令y′=0，得6x²+x-2=0，解得x=

1

2

，x=-

2

3

(舍去）．               
當0＜x＜

1

2

時，y′＞0；當

1

2

＜x＜1時，y′＜0．
所以，當x=

1

2

時，y取得最大值，此時銷售價為6000×

3

2

=9000元．
答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業的月利潤最大

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，根據實際問題選擇合適的模型是解決實際問題的變化關系常用的方法，其步驟是，建立函數模型，求解函數，得出結論，再反饋回實際問題中去．