Question

如圖，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上．使，DE=3．現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先依據(jù)公垂線的定義，證明DB為異面直線AD與BC的公垂線，再求DB之長(zhǎng)，注意到它是AB長(zhǎng)的倍，故先求出AB的長(zhǎng)即可；
（2）過(guò)D作DF⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于F，先證得∠AFD為二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出其正切值即得．
解答：解：（Ⅰ）在圖1中，因，故BE∥BC．又因B=90°，從而AD⊥DE．

在圖2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
從而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB為異面直線AD與BC的公垂線．

下求DB之長(zhǎng)．在圖1中，由，得
又已知DE=3，從而因
（Ⅱ）在第圖2中，過(guò)D作DF⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于F，連接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂線定理知AF⊥FC，故∠AFD為二面角A-BC-B的平面
角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，，
因此從而在Rt△DFE中，DE=3，
在
因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．