Question

在區間[-1，1]上任取兩數a，b，求二次方程x²+2ax+b²=0
（1）有實數根的概率；
（2）有兩個正數實數根的概率．

Answer 1

分析：（1）本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出（a，b）對應圖形的面積，及滿足條件“關于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有實根”的點對應的圖形的面積，然后再結合幾何概型的計算公式進行求解．
（2）本題利用幾何概型求解．先將二次方程x²+ax+b²=0的兩根都是正數的a，b必須滿足的條件列出來，再在坐標系aob中畫出區域，最后求出面積比即可．

解答：解：如下圖所示：
試驗的全部結果所構成的區域為{（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}（圖中矩形所示）．其面積為4．
構成事件“關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實根”的區域為

△≥0 |a|≤1 |b|≤1

，解可得

|a|≥|b| -1≤a≤1 -1≤b≤1

（如圖陰影所示）．
如圖所示，正方形中陰影部分面積與正方形面積之比即為所求概率．
∴p=

s1

s

=

1 2 ×1×1×2

4

=

1

4

（2）由二次方程x²+2ax+b²=0有兩正根可得：

△＞0 -2a＞0 b2＞0

，解可得|a|＞|b|且a＜0，
又由a、b∈[-1，1]，
其對應的區域為圖中左邊的陰影部分，
陰影部分面積與正方形面積之比即為所求概率，其結果為（1）的一半，
即p=

1

8

．

點評：本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出關于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有實根（正根）的點對應的圖形的面積，并將其和長方形面積一齊代入幾何概型計算公式進行求解．