Question

已知橢圓（a＞b＞0）的一個頂點為B（0，4），離心率e=，直線l交橢圓于M、N兩點．
（1）若直線l的方程為y=x-4，求弦MN的長；
（2）如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中橢圓（a＞b＞0）的一個頂點為B（0，4），離心率e=，根據e=，b=4，a²=b²+c²可求出橢圓的標準方程，進而求直線l的方程及弦長公式，得到弦MN的長；
（2）設線段MN的中點為Q（x，y），結合（1）中結論，及△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，由重心坐標公式，可得Q點坐標，由中點公式及M，N也在橢圓上，求出MN的斜率，可得直線l方程．
解答：解：（1）由已知橢圓（a＞b＞0）的一個頂點為B（0，4），
∴b=4，
又∵離心率e=，
即，
∴，解得a²=20，
∴橢圓方程為； …（3分）
由4x²+5y²=80與y=x-4聯立，
消去y得9x²-40x=0，
∴x₁=0，，
∴所求弦長；            …（6分）
（2）橢圓右焦點F的坐標為（2，0），
設線段MN的中點為Q（x，y），
由三角形重心的性質知，又B（0，4），
∴（2．-4）=2（x-2，y），
故得x=3，y=-2，
求得Q的坐標為（3，-2）；                               …（9分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，
且，…（11分）
以上兩式相減得，
∴，
故直線MN的方程為，即6x-5y-28=0．   …（13分）
點評：本題考查的知識點是直線的一般方程，直線與圓錐曲線，熟練掌握橢圓的簡單性質是重心坐標，中點公式等基本公式，是解答的關鍵．