Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，D是BC的中點．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）若，求直線AB與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 見解析;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）以C為原點，在平面ABC中過C作BC的垂線為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）利用向量法能求出直線AB與平面ADC1所成角的正弦值．

（Ⅰ）證明：以C為原點，在平面ABC中過C作BC的垂線為x軸，

CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，

設，則，

，

設平面ADC1的法向量=，

則，取y=2，得，

∵，平面ADC1，

∴A1B∥平面ADC1．

（Ⅱ）∵，∴

，

設平面ADC1的法向量，

則，取z=1，得，

設直線AB與平面ADC1所成角為，

則．

∴直線AB與平面ADC1所成角的正弦值為．