Question

已知函數f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；（2）求函數f（x）的遞增區間；（3）當x∈[-

π

3

，  

π

6

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數f （x）的最小正周期；
（2）通過正弦函數的單調增區間，直接求出函數f （x）的單調減區間；
（3）先利用x∈[-

π

3

，  

π

6

]，得到-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

；再結合正弦函數的圖象即可得到答案．

解答：解：f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=

3

(2cos2x-1)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)（5分）
（1）f（x）的最小正周期T=π（7分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

   解得  kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴f（x）的遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z（10分）
（3）∵-

π

3

≤x≤

π

6

∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
∴-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2
∴f（x）的值域為[-

3

，  2]（13分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，最值、單調性、周期，主要考查基本知識的靈活應用，基礎知識的掌握的熟練程度，決定解題的好壞和快慢．