Question

已知函數，（，為自然對數的底數）.
（1）當時，求的單調區間；
（2）對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）函數的單調減區間為單調增區間為；（2）實數的最小值為；
（3）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）把代入函數的解析式，直接利用導數求函數在定義域上的單調區間；（2）利用參數分離法將問題中的不等式等價轉化為在上恒成立，即，進而求出參數的取值范圍，從而求出的最小值；（3）先利用導數求出函數在上的值域，利用導數研究函數的單調性，并求出方程的唯一根，將條件“對于任意給定的
，在總存在兩個不同的，使得”轉化為“函數在區間上存在唯一極值點，即，且函數在區間和區間上的值域均包含函數在區間上的值域”，從而列出相應的不等式進行求解參數的取值范圍.
試題解析：（1）當時，，，
由，，由，，
故的單調減區間為，單調增區間為；
（2）即對，恒成立，
令，，則，
再令，，，
在上為減函數，于是，
從而，，于是在上為增函數，，
故要恒成立，只要，即的最小值為；
（3），當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
，，，
所以，函數在上的值域為.
當時，不合題意；
當時，，，
故，，    ①
此時，當變化時，、的變化情況如下：

	單調減	最小值	單調增

，，，，
所以，對任意給定的，在區間上總存在兩個不同的，
使得成立，當且僅當滿足下列條件
，即 
令，，
，令，得，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
所以，對任意，有，
即②對任意恒成立，
由③式解得：，   ④
綜合①④可知，當時，對任意給定的，
在總存在兩個不同的，使得成立.