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函數f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有極大值又有極小值，則a的范圍是
{a|a＜-1或a＞2}
{a|a＜-1或a＞2}
．
分析：先對函數進行求導，根據函數f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，可以得到導函數為0的方程有兩個不等的實數根，從而有△＞0，進而可解出a的范圍．
解答：解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
要使函數f（x）有極大值又有極小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有兩個不等的實數根，
所以△=36a2-36（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．
故答案為：{a|a＜-1或a＞2}
點評：本題主要考查了函數的極值問題及導數的應用，利用導數作為工具去研究函數的性質非常方便．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，函數f（x）在R上有三個零點．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x2+lnx，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•東城區一模）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為
10
10
，若x=
2
3
時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）已知函數f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數y=f（x）的單調遞減區間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點A、B（A、B不重合）處切線的交點位于直線x=2上，證明：A、B 兩點的橫坐標之和小于4；
（3）如果對于一切x1、x2、x3∈[0，1]，總存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）為三邊長的三角形，試求正實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x3-3ax+b（a≠0），已知曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間與極值點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x）=x3+ax2-x+1的極值情況，4位同學有下列說法：甲：該函數必有2個極值；乙：該函數的極大值必大于1；丙：該函數的極小值必小于1；丁：方程f（x）=0一定有三個不等的實數根． 這四種說法中，正確的個數是（　　）

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