Question

如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為AB的中點．

(1)求證：AC⊥平面BDD₁；

(2)求異面直線BD₁與CE所成角的余弦值；

(3)求點B到平面A₁EC的距離．

Answer 1

解：(1)證明：由已知D₁D⊥平面ABCD，得AC⊥D₁D，

又由ABCD是正方形，得AC⊥BD.

∵D₁D與BD相交于點D，∴AC⊥平面BDD₁.

(2)延長DC至G，使CG＝EB，連接BG、D₁G，

∵CG綊EB，∴四邊形EBGC是平行四邊形，

∴BG∥EC，∴∠D₁BG就是異面直線BD₁與CE所成角．

在△D₁BG中，D₁B＝2，BG＝，D₁G＝＝.

∴cos∠D₁BG＝＝＝，

異面直線BD₁與CE所成角的余弦值是.