Question

12．如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC=$\frac{2π}{3}$．管理部門欲在該地從M到D修建小路：在$\widehat{MN}$上選一點(diǎn)P（異于M、N兩點(diǎn)），過點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ．
（1）若∠PBC=$\frac{π}{3}$，求PQ的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)P選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路$\widehat{MP}$與PQ及QD的總長(zhǎng)最小？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作出輔助線，根據(jù)梯形的性質(zhì)求出PQ的長(zhǎng)即可；
（2）設(shè)∠PBP₁=θ，求出PQ的長(zhǎng)，得到總路徑長(zhǎng)f（θ）的表達(dá)式，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出去最小值時(shí)θ的值，即P點(diǎn)的位置即可．

解答 解．（1）如圖示：
，
連接BP，過P作PP₁⊥BC，垂足為P₁，過Q作QQ₁⊥BC垂足為Q₁，
在Rt△PBP₁中，$P{P_1}=Q{Q_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，B{P_1}=C{Q_1}=\frac{1}{2}$，PQ=1；
（2）設(shè)∠PBP₁=θ，$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，
∴$PQ=2-cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$，
在Rt△QBQ₁中，$DQ=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ$，
∴總路徑長(zhǎng)f（θ）=$\frac{2π}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），
f′（θ）=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ-1=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）-1，
令f'（θ）=0，$θ=\frac{π}{2}$，
當(dāng)$0＜θ＜\frac{π}{2}$ 時(shí)，f'（θ）＜0，
當(dāng)$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}$ 時(shí)，f'（θ）＞0，
所以當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，總路徑最短．
答：當(dāng)BP⊥BC時(shí)，總路徑最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查三角函數(shù)問題以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．