Question

已知直線l經過點P(3，1)，且被兩條平行直線l₁：x＋y＋1＝0和l₂：x＋y＋6＝0截得的線段之長為5，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

分析一：如下圖，利用點斜式設出直線l的方程，用k表示其斜率，分別與直線l1，l2聯立，求得兩交點A，B的坐標(用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值，從而求得l的方程． 　　解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時l與l1，l2的交點分別為(3，－4)和(3，－9)，截得的線段的長||＝|－4＋9|＝5，符合題意． 　　若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y－1＝k(x－3)，即y＝k(x－3)＋1，直線l與l1，l2分別交于A，B兩點． 　　 　　綜上可知，直線l的方程為x＝3，或y＝1． 　　分析二：利用l1，l2之間的距離及l1與l的夾角的關系求解． 　　解法二：由題意知，平行直線l1，l2間的距離 　　 　　因為直線l被平行直線l1，l2所截得的線段的長為5，設直線l與直線l1的夾角為， 　　所以sin＝，解得＝45°． 　　又因為直線l1：x＋y＋1＝0的斜率為－1，則傾斜角為135°，所以直線l的傾斜角為90°或0°． 　　又因為直線l過點P(3，1)， 　　所以直線l的方程為x＝3，或y＝1． 　　分析三：設直線l與l1，l2分別交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可通過求出y1－y2，x1－x2的值，確定直線l的斜率(或傾斜角)，從而求得直線l的方程． 　　解法三：設直線l與l1，l2分別交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0， 　　兩式相減，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5．　① 　　又|AB|＝5，則(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25．　② 　　聯立①②，解得或 　　所以直線l的斜率不存在或為0． 　　又直線l過點P(3，1)， 　　故直線l的方程為x＝3，或y＝1． 　　點評：一般地，若求過一定點且被兩已知平行直線截得的線段為定長a的直線方程，則當a小于兩平行直線間的距離d時，沒有這樣的直線方程；當a＝d時，有唯一的直線方程；當a＞d時，有且只有兩個直線方程．另外，本題的三種解法中，解法二采取先求出夾角，再求直線l的斜率或傾斜角，從解法上看較為簡單；而解法三利用了整體思想處理問題，在一定程度上簡化了運算過程．