Question

設橢圓中心在坐標原點，A（2，0）、B（0，1）是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點。

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題設得橢圓的方程為，

   直線AB、EF的方程為

   如圖，設D，E，F，其中，且滿足方程

           ，

   故

   由知，得

        ，

   由D在AB上知，得

        

   所以，

   化簡得  ，

   解得                                             

   （Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點E、F到AB的距離分別為

    ，

    ，               

    又，所以四邊形AEBF的面積為

           

             

              

              ，

    當，即時，上式取等號，所以S的最大值為 

解法二：由題設，

設，由①的，

故四邊形AEBF的面積為

                                                                

 

 

  ，

當時，上式取等號，所以S的最大值為   .