Question

已知函數y=x²-2ax+b²．
（1）a從集{0，1，2，3}中任取一個元素b從集{0，1，2}中任取一個元素，求方程y=0有兩個不相等實根的概率；
（2）a從區[0，2]中任取一個數b從區[0，3]中任取一個數，求方程y=0 沒有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）列舉出從a從集{0，1，2，3}中任取和b從集{0，1，2}中任取的基本事件個數，及滿足條件方程y=0有兩個不相等實根（△＞0）的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．
（2）計算a從區間[0，2]中任取和b從區間[0，3]中任取對應的基本事件的面積，及滿足條件方程y=0沒有實根（△＜0）的基本事件的面積，代入幾何概型概率計算公式，可得答案．

解答：解：（1）a從集{0，1，2，3}中任取和b從集{0，1，2}中任取
共有

C

1 4

×

C

1 3

=12種不同情況，分別為：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
這些事件是等可能發生的
記“方程y=0有兩個不相等實根”為事件A，即△=4a²-4b²＞0，即a＞b
則事件A中共包括6種不同情況，分別為：
（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），
故P（A）=

6

12

=

1

2

即方程y=0有兩個不相等實根的概率為

1

2

（2）a從區間[0，2]中任取和b從區間[0，3]中任取對應的基本事件為
Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}
則S_Ω=2×3=6
記“方程y=0 沒有實根”為事件B，即△=4a²-4b²＜0，即a＜b
則事件B={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}
則S_B=6-

1

2

×2×2=4
如下圖所示：

故P（B）=

4

6

=

2

3

即方程y=0 沒有實根的概率為

2

3

點評：本題考查的知識點是幾何概型，古典概型，其中分析出滿足條件的基本事件的實質，方程y=0有兩個不相等實根（△＞0）與方程y=0沒有實根（△＜0）是解答的關鍵．