Question

某種商品在30天內每件的銷售價格P（元）與時間t（t∈N^*）（天）的函數關系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內日銷售量Q（件）與時間t（t∈N^*）（天）之間的關系如下表：

第1天	5	15	20	30
Q件	35	25	20	10

（Ⅰ）根據提供的圖象，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系；
（Ⅱ）根據表中提供的數據，確定日銷售量Q與時間t的一個函數關系式；
（Ⅲ）求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？（日銷售金額=每件的銷售價格×日銷售量）

Answer 1

分析：（I）由已知中的函數圖象，利用待定系數法，分別求出兩段函數圖象對應的解析式，進而可得該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系；
（Ⅱ）根據表中提供的數據，利用待定系數法，可得日銷售量Q與時間t的一個函數關系式；
（Ⅲ）由（I），（II）可得日銷售金額的解析式，利用二次函數的圖象和性質，可得答案．

解答：解：（I）由已知得：
當0＜t＜25時，設P=kt+b
由圖象過（0，20），（30，70）點可得：

b=20 25k+b=45

解得

k=1 b=20

故P=t+20
當25≤t≤30時，設P=kt+b
由圖象過（25，75），（25，45）點可得：

25k+b=75 30k+b=70

解得

k=-1 b=100

故P=-t+100
綜上所述，商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系為：P=

t+20(0＜t＜25，t∈N*) -t+100(25≤t≤30，t∈N*)

（II）設日銷售量Q與時間t的一個函數關系式為：Q=kt+b
由表格中數據（5，35），（30，10）得

5k+b=35 30k+b=10

解得

k=-1 b=40

故日銷售量Q與時間t的一個函數關系式為：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*）；
（III）由（I）（II）可得商品的日銷售金額與時間t的函數關系式滿足
y=PQ，即y=

-t2+20t+800，(0＜t＜25，t∈N*) t2-140t+4000，(25≤t≤30，t∈N*)

當0＜t＜25時，t=10時，函數取最大值900
當25≤t≤30時，t=25時，函數取最大值1125
綜上可得：當t=25時，日銷售金額最大，且最大值為1125元．

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，熟練掌握待定系數法求函數解析式及二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．