Question

設數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-2S_n；數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n為數列{c_n}的前n項和．求證：Tn＜

7

2

．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知b1=

2

3

．b2=

2

9

，b_n=2-2S_n，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．

bn

bn-1

=

1

3

，由此可求出數列{b_n}的通項公式．
（2）數列{a_n}為等差數列，公差d=

1

2

(a7-a5)=3，可得a_n=3n-1．從而cn=an•bn=2(3n-1)•

1

3n

，由此能證明數列{c_n}的前n項和Tn＜

7

2

．

解答：解：（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，則b₁=2-2S₁，又S₁=b₁，
所以b1=

2

3

．b₂=2-2（b₁+b₂），則b2=

2

9

．
當n≥2時，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．即

bn

bn-1

=

1

3

．
所以{b_n}是以b1=

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，于是bn=2•

1

3n

．
（2）數列{a_n}為等差數列，公差d=

1

2

(a7-a5)=3，可得a_n=3n-1．
從而c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

∴Tn=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+(3n-1)•

1

3n

]=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

＜

7

2

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．