Question

已知函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，a、b∈R，對命題：“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”．寫出逆命題、逆否命題，判斷真假，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是四種間的逆否關系及四種命題，由已知函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，我們可以先判斷原命題的真假，然后根據互為逆否命題的真假性相同，我們也可以得到其逆否命題真假；然后再證明其否命題的真假，再根據其否命題與其逆命題也互為逆否命題，真假性也相同，即可得到其逆命題的真假．
解答：解：先證原命題：
“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”為真．
a+b≥0⇒a≥-b，b≥-a
⇒f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
⇒f（a）+f（b）≥f（-b）+f（-a）．
故其逆否命題：“若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），則a+b＜0”也為真．
再證否命題“若a+b＜0，則f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”為真．
a+b＜0⇒a＜-b，b＜-a
⇒f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
⇒f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命題：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0”也為真．
點評：已知原命題，寫出它的其他三種命題，首先把原命題改寫成“若p，則q”的形式，然后找出其條件p和結論q，再根據四種命題的定義寫出其他命題．逆命題：“若q，則p”；否命題：“若¬p，則¬q”；逆否命題：“若¬q，則¬p”，對寫出的命題也可簡潔表述；對于含有大前提的命題，在改寫命題形式時，大前提不要動．