Question

已知，點P滿足，記點P的軌跡為E，
（1）求軌跡E的方程；
（2）如果過點Q（0，m）且方向向量為=（1，1）的直線l與點P的軌跡交于A，B兩點，當時，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）點P滿足，得出點P的軌跡是以（，0），（-，0）為焦點的橢圓從而寫出點P的軌跡方程即可．
（2）依題意直線AB的方程為y=x+m，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量垂直的條件可求得m值，最后利用弦長公式結合三角形的面積公式即可解決問題．
解答：解：（1）∵點P滿足，
∴
∴點P的軌跡是以（，0），（-，0）為焦點的橢圓，
a=2，c=，b=1，
∴點P的軌跡方程為
（2）依題意直線AB的方程為y=x+m．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入橢圓方程，得5x²+8mx+4m²-4=0，（1分）△=64m²-20（4m²-4）＞0，∴m²＜5，
，，
，
因此=，
=，
=．
點評：本題考查橢圓的性質與其性質的應用，注意（2）的處理弦長問題的一般方法，將直線的方程代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得m值，從而解決問題．