Question

已知m＞0，p：（x+1）（x-5）≤0，q：1-m≤x≤1+m．
（1）若m=5，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數x的取值范圍．
（2）若p是q的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將m=5代入，解不等式，可分別求出命題p，命題q對應的x的取值范圍，結合已知可得p與q一真一假，分p真q假時和p假q真時，兩種情況討論，綜合討論結果可得答案．
（2）根據充要條件判定的集合法，可得[-1，5]是[1-m，1+m]的真子集，根據真子集的定義構造關于m的不等式組，解不等式組可得答案．

解答：解：（1）當m=5時，q：-4≤x≤6 …..（2分）
∵p：（x+1）（x-5）≤0，即-1≤x≤5
由“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，可得p與q一真一假，…..（3分）
p真q假時，由

-1≤x≤5 x＜-4，或x＞6

，此不等式組無解…..（5分）
p假q真時，由

-4≤x≤6 x＜-1，或x＞5

，解得-4≤x＜-1，或5＜x≤6．…..（7分）
∴實數m的取值范圍為[-4，-1）∪（5，6]．                               …..（8分）
（2）∵p是q的充分條件不必要條件，
∴[-1，5]是[1-m，1+m]的真子集． …..（12分）
∴

1-m≤-1 1+m≥5

，解得m≥4，∴實數m的取值范圍為[4，+∞）． …..（14分）

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，充要條件，解答（1）的關鍵是分析出p與q一真一假，解得（2）的關鍵是分析出[-1，5]是[1-m，1+m]的真子集