Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a1=1+ 

2

，S3=9+3 

2

．
（1）求數列{a_n}的通項a_n與前n項和為S_n；
（2）設bn= 

Sn

n

（n∈N⁺），求證：數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

Answer 1

分析：（1）用a₁表示出S₂，進而求得d，則等差數列的通項公式和前n項的和可求．
（2）把（1）中s_n代入b_n，求得b_n，假設數列{b_n}中存在三項b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數列，則根據等比中項的性質可知b_q²=b_pb_r．把b_p，b_q，b_r代入求得(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0進而推斷出

q2-pr=0 2q-p-r=0

求得p=r，與p≠r矛盾．進而可知假設不成立．

解答：解：（1）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

，∴d=2，
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．
（2）由（Ⅰ）得bn=

Sn

n

=n+

2

．
假設數列{b_n}中存在三項b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數列，則b_q²=b_pb_r．
即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)．
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0，
∵p，q，r∈N^*，
∴

q2-pr=0 2q-p-r=0

，
∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，
∴p=r．
與p≠r矛盾．
所以數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成等比數列．

點評：本小題考查數列的基本知識，考查等差數列的概念、通項公式與前n項和公式，考查等比數列的概念與性質，考查化歸的數學思想方法以及推理和運算能力．