Question

如圖，定點A，B的坐標分別為A（0，27），B（0，3），一質點C從原點出發，始終沿x軸的正方向運動，已知第1分鐘內，質點C運動了1個單位，之后每分鐘內比上一分鐘內多運動了2個單位，記第n分鐘內質點運動了a_n個單位，此時質點的位置為（C_n，0）．
（Ⅰ）求a_n、C_n的表達式；
（Ⅱ）當n為何值時，tan∠AC_nB取得最大，最大值為多少？

Answer 1

分析：（I）確定第n分鐘內，質點C運動了a_n=1+2（n-1）=2n-1個單位，從而可求C_n的表達式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，結合基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知，第n分鐘內，質點C運動了a_n=1+2（n-1）=2n-1個單位，…（2分）       
所以C_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．…（4分）
（Ⅱ）∵tan∠AC_nO=

27

n2

，tan∠BC_nO=

3

n2

，…（6分）
∴tan∠AC_nB=tan（∠AC_nO-∠BC_nO）=

27 n2 - 3 n2

1+ 27 n2 • 3 n2

=

24

n2+ 81 n2

．…（8分）
≤

24

2 n2• 81 n2

=

4

3

…（10分）
當且僅當n2=

81

n2

，即n=3時，等號成立．…（11分）
∴n=3時，tan∠AC_nB最大，最大值為

4

3

．…（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查差角的正切公式，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．