Question

已知函數,

(1) 設（其中是的導函數）,求的最大值；

(2) 證明: 當時，求證：  ；

(3) 設,當時,不等式恒成立,求的最大值

 

Answer 1

【答案】

(1),

所以 ．

當時，；當時，．

因此，在上單調遞增，在上單調遞減．

因此，當時，取得最大值；

（2）當時，．

由（1）知：當時，，即．

因此，有．

（3）不等式化為

所以對任意恒成立．

令，則，

令，

則，

所以函數在上單調遞增．

因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當，即，當，即，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

所以．

所以．

故整數的最大值是．

【解析】略