Question

用單調性定義證明：函數f(x)=

1

(x-1)2

在（-∞，1）上為增函數．

Answer 1

分析：利用單調性的定義進行證明，設x₁＜x₂＜1，再作差、變形、判斷符號，證f（x₂）＞f（x₁），把x₁和x₂分別代入函數f （x）=

1

(x-1)2

進行證明．

解答：解：設x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

(x1-1)2

-

1

(x2-1)2

=

(x1+x2-2)(x2-x1)

(x1-1)2(x2-1)2

∵x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，x₁+x₂-2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）=

1

(x-1)2

在（-∞，1）上是增函數．

點評：此題主要考查函數單調性的定義，解題的關鍵是利用單調性定義：取值、作差、變形、判斷符號、下結論五個步驟進行證明，