Question

設數列的前n項和為，且滿足＝2－，＝1，2，3，…．

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足＝1，且＝＋，求數列的通項公式；

（3）設，求數列的前項和為．

 

Answer 1

【答案】

（1）＝( n∈)（2）＝ (＝1，2，3，…)

（3）8－

【解析】

試題分析：（1）因為＝1時，＋＝＋＝2，所以＝1．

因為＝2－，即＋＝2，所以＋＝2．

兩式相減：－＋－＝0，即－＋＝0，故有＝．

因為≠0，所以＝( n∈)．

所以數列是首項＝1，公比為的等比數列，

所以＝( ∈)．                                            ……5分

（2）因為＝＋( n＝1，2，3，…)，所以－＝．從而有

＝1，＝，＝，…，＝( ＝2，3，…)．

將這－1個等式相加，得

－＝1＋＋＋…＋＝＝2－．(＝2，3，…)．

又因為＝1，所以＝3－( ＝2，3，…)．

經檢驗，對=1也成立，

故＝3－ = (＝1，2，3，…)．                        ……10分

（3）因為＝，

所以＝．   ①

＝．       ②

①－②，得＝－． 

故＝－＝8－－＝8－( n＝1，2，3，…)．

……15分

考點：本小題主要考查由遞推關系式求數列的通項公式、等差等比數列的通項公式和錯位相減法求數列的前n項的和，考查了學生對基礎知識的掌握和靈活應用能力以及運算求解能力.

點評：一般解數列的解答題時會給出一個遞推關系式，此時一般情況下會再寫一個作差，寫的時候要特別注意首項是否能取到，另外錯位相減法求和是高考中常考的內容，要多加練習.