Question

【題目】已知e是自然對數的底數，實數a是常數，函數f(x)＝ex－ax－1的定義域為(0，＋∞)．
（1）設a＝e，求函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程；
（2）判斷函數f(x)的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴當a＝e時，函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－1.
（2）解：∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上單調遞增．
∴當a≤1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a>1時，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，
∴當0<x<lna時，f′(x)<0，當x>lna時，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增．
綜上，當a≤1時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a>1時，f(x)在(0，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增．
【解析】(1)首先求出原函數的導函數，把點的坐標代入到導函數的解析式求出函數值即為原函數的切線的斜率，再由直線的點斜式求出方程即可。(2) 首先求出原函數的導函數，對a分情況討論得出導函數在指定區間上的正負情況進而得出原函數的單調性即可。