Question

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（1）是否存在實數a，使得集合A中所有整數的元素和為28？若存在，求出符合條件的a，若不存在，請說明理由．
（2）若以a為首項，a為公比的等比數列前n項和記為S_n，對于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當a＜1時，A={x|a≤x≤1}，不符合；
當a≥1時，A={x|-2≤x≤1}，設a∈[n，n+1），n∈N，則
1+2++n=

n(n+1)

2

=28，
所以n=7，即a∈[7，8）
（2）當a≥1時，A={x|1≤x≤a}．而S₂=a+a²∉A，故a≥1時，不存在滿足條件的a；
當0＜a＜1時，A={a≤x≤1}，而Sn=

a(1-an)

1-a

是關于n的增函數，
所以S_n隨n的增大而增大，
當Sn＜

a

1-a

且無限接近

a

1-a

時，對任意的n∈N₊，S_n∈A，只須a滿足

0＜a＜1 a 1-a ≤1

解得0＜a≤

1

2

．
當a＜-1時，A={x|a≤x≤1}．
而S₃-a=a²+a³=a²（1+a）＜0，S₃∉A故不存在實數a滿足條件．
當a=-1時，A={x|-1≤x≤1}．S_2n-1=-1，S_2n=0，適合．
⑤當-1＜a＜0時，A={x|a≤x≤1}．S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ（1+a）＞S_2n-1，S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹（1+a）＜S_2n，
∴S_2n-1＜S_2n+1，S_2n+2＜S_2n，且S₂=S₁+a²＞S₁．
故S₁＜S₃＜S₅＜…＜S_2n+1＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂．
故只需

S2∈A S1∈A

即

a+a2≤1 -1＜a＜0

解得-1＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍是{a|0＜a≤

1

2

或-1≤a＜0}．