Question

已知函數f（x）=x²+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β）．
（1）求α、β的值；
（2）數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=g（a_n），求a_n；
（3）數列{a_n}滿足：a1=3，an+1=an-

f(an)

g(an)

，(n=1，2，3，…)記bn=ln

an-β

an-α

，（n=1，2，…），求證數列{b_n}為等比數列，并求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先求出方程的根，再利用α、β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β），即可得到結論；
（2）證明{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，即可求得a_n；
（3）確定數列相鄰項的關系，可得等比數列，再利用等比數列的求和公式，即可得到結論．

解答：（1）解：由x²+x-6=0，可得x=2或-3，
∵α、β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β），∴α=2，β=-3；
（2）解：∵g（x）=2x+1，∴a_n+1=g（a_n）=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，
∴{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（3）證明：an+1=an-

f(an)

g(an)

=

an2+6

2an+1

∴a_n+1+3=

an2+6

2an+1

+3=

(an+3)2

2an+1

，a_n+1-2=

(an-2)2

2an+1

∴bn=ln

an-β

an-α

=ln

an+3

an-2

=2ln

an-1+3

an-1-2

=2b_n-1
∴{b_n）是首項為ln

a1+3

a1-2

=ln6，公比為2的等比數列
∴{b_n}的前n項和S_n=

(1-2n)ln6

1-2

=（2ⁿ-1）ln6．

點評：本題考查數列與函數的關系，考查等比數列的判定，考查等比數列的通項與求和，屬于中檔題．