Question

（2009•奉賢區(qū)二模）已知：點列P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直線L：y=2x+1上，P₁為L與y軸的交點，數列{a_n}為公差為1的等差數列．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若f（n）=

an(n=2k-1) bn(n=2k)

（k∈N^*），令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；試用解析式寫出S_n關于n的函數．
（3）若f（n）=

an(n=2k-1) bn(n=2k)

（k∈N^*），是否存在k∈N^*，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=2x+1與x軸的交點p₁（a₁，b₁）為（0，1），a₁=0，知a_n=a₁+（n-1）×1，由P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）由f (n)=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

（k∈N⁺）．知當n=2k時，求出Sn=

3

4

n2．當n=2k-1時，求出Sn=

3

4

n2-

n

2

-

1

4

．所以Sn=

3 4 n2- n 2 - 1 4 ，n=2k-1 3 4 n2，n=2k

，（k∈N⁺）．
（3）若k為奇數，則11+k為偶數．此時方程無解． 若k為偶數，則11+k為奇數．所以f（k）=2k-1，f（11+k）=（11+k）-1=k+10，而f（11+k）=2f（k），所以k+10=2（2k-1）4．由此能得到存在k=4使得f（11+k）=2f（k）成立．

解答：解：（1）y=2x+1與x軸的交點p₁（a₁，b₁）為（0，1），（1分）
a₁=0；所以a_n=a₁+（n-1）×1，即a_n=n-1，（1分）
因為P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，所以b_n=2n-1，即b_n=2n-1．（2分）
（2）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

，（k∈N⁺），
即若f (n)=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

（k∈N⁺）（1分）
（A）當n=2k時，S_n=S_2k=a₁+b₂+a₃+b₄+…+a_2k-1+a_2k
=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）（1分）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-1

2

×k=3k2，
而k=

n

2

，所以Sn=

3

4

n2．（1分）
（B）當n=2k-1時，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃+…+a_2n-k）+（b₂+b₄+…+b_2k-2）（1分）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-5

2

×(k-1)
=3k²-4k+1，（1分）
而k=

n+1

2

，所以Sn=

3

4

n2-

n

2

-

1

4

（1分）
因此Sn=

3 4 n2- n 2 - 1 4 ，n=2k-1 3 4 n2，n=2k

，（k∈N⁺）（1分）
（3）假設存在k使得f（1+k）=2f（k）成立．
（A）若k為奇數，則11+k為偶數．所以f（k）=k-1，f（11+k）=2（hh+k），而f（11+k）=2f（k），所以2k+21=2（k-1），方程無解，此時不存在．（2分）
（B） 若k為偶數，則11+k為奇數．所以f（k）=2k-1，f（11+k）=（11+k）-1=k+10，而f（11+k）=2f（k），所以k+10=2（2k-1），解得k=4（2分）
由（A）（B）得存在k=4使得f（11+k）=2f（k）成立．（1分）

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．