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對于定義域為D的函數y=f(x),若同時滿足下列條件:
①f(x)在D內單調遞增或單調遞減;
②存在區間[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域為[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數.
(1)求閉函數y=-x3符合條件②的區間[a,b];
(2)判斷函數f(x)=x2是不是閉函數,若是,請找出區間[a,b],若不是,請另增加一個條件,使f(x)是閉函數.
(3)若函數y=k+
x+2
是閉函數,且在定義域內是增函數,求實數k的取值范圍.
分析:(1)利用函數g(x)=-x3在R上為單調減函數的特點,由g(a)=b,g(b)=a列方程即可解得a,b
(2)由于函數f(x)=x2在R上不單調,故不是閉函數,但在單調區間[0,+∞)上可能為閉函數,利用與(1)相同的方法即可找到滿足條件的區間
(3)函數y=k+
x+2
在[-2,+∞)單調遞增,若存在區間[a,b]⊆[-2,+∞),使得在區間[a,b]上值域為[a,b],則得到關于a,b的方程組,此方程組有[-2,+∞)上的解即可,轉化為二次函數根的分布問題列不等式即可得k的取值范圍
解答:解:(1)由題意,∵y=-x3在[a,b]上遞減,要使g(x)在[a,b]上的值域為[a,b]
則需
b=-a3
a=-b3
b>a
解得
a=-1
b=1

∴所求的區間為[-1,1]
(2)∵函數f(x)=x2的定義域為R,但在[0,+∞)是增函數,在(-∞,0]上是減函數,∴f(x)在R上不滿足條件①,∴f(x)不是閉函數.
若D=[0,+∞),則f(x)是D上的增函數,滿足條件①,設滿足條件②的區間為[a,b],
0≤a<b
a2=a
b2=b
a=0
b=1
∴存在區間[a,b]=[0,1]使f(x)滿足條件②
∴f(x)=x2(x∈[0,+∞))是閉函數,增加的條件是:D=[0,+∞).
(3)∵函數y=k+
x+2
在[-2,+∞)單調遞增,若y=k+
x+2
是閉函數,
則存在區間[a,b]⊆[-2,+∞),使得在區間[a,b]上值域為[a,b],
a=k+
a+2
b=k+
b+2

∴a,b為方程x=k+
x+2
的兩個實數根,
即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有兩個不等的實根.
令h(x)=x2-(2k+1)x+k2-2
△>0
f(-2)≥0
f(k)≥0
2k+1
2
>-2
,解得-
9
4
<k≤-2

∴k的取值范圍為(-
9
4
,-2]
點評:本題考查了新定義型函數的理解和運用能力,函數單調性的應用,轉化化歸的思想方法
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

對于定義域為D的函數y=f(x),如果存在區間[m,n]⊆D,同時滿足:
①f(x)在[m,n]內是單調函數;
②當定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].則稱[m,n]是該函數的“和諧區間”.
(1)求證:函數y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區間”.
(2)已知:函數y=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和諧區間”[m,n],當a變化時,求出n-m的最大值.
(3)易知,函數y=x是以任一區間[m,n]為它的“和諧區間”.試再舉一例有“和諧區間”的函數,并寫出它的一個“和諧區間”.(不需證明,但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數為例)

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對于定義域為D的函數f(x),若存在區間M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區間M為函數f(x)的“等值區間”.給出下列三個函數:
f(x)=(
12
)x
;   ②f(x)=x3;    ③f(x)=log2x+1
則存在“等值區間”的函數的個數是
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

對于定義域為D的函數y=f(x),若同時滿足下列條件:①f(x)在D內單調遞增或單調遞減;②存在區間[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域為[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數.
(1)求閉函數y=-x3符合條件②的區間[a,b];
(2)判斷函數f(x)=
3
4
x+
1
x
(x>0)是否為閉函數?并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•崇明縣一模)定義:對于定義域為D的函數f(x),如果存在t∈D,使得f(t+1)=f(t)+f(1)成立,稱函數f(x)在D上是“T”函數.已知下列函數:
①f(x)=
1x
; 
②f(x)=log2(x2+2);
③f(x)=2x(x∈(0,+∞)); 
④f(x)=cosπx(x∈[0,1]),其中屬于“T”函數的序號是
.(寫出所有滿足要求的函數的序號)

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科目:高中數學 來源: 題型:

對于定義域為D的函數f(x),若同時滿足下列條件:①f(x)在D內有單調性;②存在區間[a,b]⊆D,使f(x)在區間[a,b]上的值域也為[a,b],則稱f(x)為D上的“和諧”函數,[a,b]為函數f(x)的“和諧”區間.
(Ⅰ)求“和諧”函數y=x3符合條件的“和諧”區間;
(Ⅱ)判斷函數f(x)=x+
4
x
(x>0)
是否為“和諧”函數?并說明理由.
(Ⅲ)若函數g(x)=
x+4
+m
是“和諧”函數,求實數m的取值范圍.

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