Question

（2009江蘇卷）（本小題滿分16分）

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.

（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。

Answer 1

解析：本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數學運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。

(1)設直線的方程為：，即

由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，

結合點到直線距離公式，得：      

化簡得：

求直線的方程為：或，即或

(2) 設點P坐標為，直線、的方程分別為：

，即：

因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。     

故有：，

化簡得：

關于的方程有無窮多解，有：      

解之得：點P坐標為或。