Question

已知f（x）=2x+a，g（x）=

1

4

（x²+3），
（1）若g[f（x）]=x²+x+1，求實數a的值；
（2）若關于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的兩個根m，n滿足m＜1＜n，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數g（x）的解析式化簡：g[f（x）]，再利用條件：g[f（x）]=x²+x+1，比較兩邊對應項的系數，建立關于a的方程，即可求出a 值．
（2）先化簡f[g（x）]+f（x），得出關于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的兩個根m，n滿足m＜1＜n．也就是關于x的方程x²+4x+4a+3=0的兩個根m，n滿足m＜1＜n，設h（x）=x²+4x+4a+3，由二次函數的圖象與性質即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵g[f（x）]=g（2x+a）=

1

4

[（2x+a）²+3]=

4x2+4ax+a2+3

4

g[f（x）]=x²+x+1，x∈R
∴

4x2+4ax+a2+3

4

=x²+x+1，x∈R．（4分）
比較兩邊對應項的系數，有

4a 4 =1 a2+3 4 =1

∴a=1．（6分）
（2）因為f[g（x）]+f（x）=2•g（x）+a+2x+a=

1

2

（x²+4x+4a+3）．（8分）
所以關于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的兩個根m，n滿足m＜1＜n．
也就是關于x的方程x²+4x+4a+3=0的兩個根m，n滿足m＜1＜n．（9分）
設h（x）=x²+4x+4a+3，由二次函數的圖象與性質可知h（1）＜0
即4a+8＜0．（11分）
∴a＜-2．（12分）

點評：本小題主要考查二次函數的圖象與性質、函數與方程的綜合運用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．