Question

設M是弧度為

π

2

的∠AOB的角平分線上的一點，且OM=1，過M任作一直線與∠AOB的兩邊分別交OA、OB于點E，F，記∠OEM=x．
（1）若

|ME|

|MF|

=1時，試問x的值為多少？
（2）求

1

|ME|

+

1

|MF|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當

|ME|

|MF|

=1時，即M為EF的中點，又M是∠AOB的角平分線上的一點，利用幾何性質即可求出x的值；
（2）在三角形OEM中，利用正弦定理列出關系式，表示出|EM|，同理表示出|FM|，代入所求式子中，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質化簡求出范圍．

解答：解：（1）當

|ME|

|MF|

=1時，即M為EF的中點，又M是∠AOB的角平分線上的一點，
則由幾何性質易知x=

π

4

；
（2）在三角形OEM中由正弦定理可知：

1

sinx

=

|EM|

sin π 4

，得|EM|=

2

2sinx

，x∈（0，

π

2

），
同理在三角形OFM中由正弦定理可知：|FM|=

2

2cosx

，x∈（0，

π

2

），
從而

1

|ME|

+

1

|MF|

=

2

sinx+

2

cosx=2sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

2

），∴x+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），即有sin（x+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
則

1

|ME|

+

1

|MF|

∈（

2

，2]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．