Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，求a、b的值．

Answer 1

分析：由題意可得

f′(1)=3+2a+b=0 f(1)=1+a+b+a2=10

，解之可得a，b的值，驗證需滿足在x=1的兩側單調性相反，即導數異號才為極值點．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx+a²，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，
∴

f′(1)=3+2a+b=0 f(1)=1+a+b+a2=10

，解得

a=4 b=-11

，或

a=-3 b=3

，
當

a=4 b=-11

時，f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1），
當-

11

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0，滿足x=1處為極值點；
當

a=-3 b=3

時，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，易知在x=1的兩側f′（x）＞0，
故x=1不是極值點，應舍去．
故只有

a=4 b=-11

滿足題意．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，注意驗證是解決問題的關鍵，屬中檔題．