Question

【題目】已知：橢圓的焦點(diǎn)在軸上，左焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成面積為的等腰直角三角形，直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（3）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在定點(diǎn)，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，根據(jù)題意得出，可求出、、的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，得出直線的斜率，結(jié)合可求出直線的斜率，進(jìn)而得出直線的方程，并將直線的方程代入橢圓的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可計(jì)算出直線的方程；

（3）由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由直線、的斜率互為相反數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得出定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，

由于左焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成面積為的等腰直角三角形，則為短軸長(zhǎng)的一半，

則，且有，得，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意、，則直線的斜率為.

，直線的斜率為，

則直線的方程為.

代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，解得或.

代入，得（舍）或，.

則直線的斜率為，

因此，直線的方程為，即；

（3）由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得.

由韋達(dá)定理得，.

直線的斜率為，同理直線的斜率為，

，，

即，即，

解得，因此，直線過定點(diǎn).