Question

下列4個命題：
p1：?x∈(0，+∞)，(

1

2

)x＞log

1

3

x；        p2：?x∈(0，1)，log

1

2

x＞log

1

3

x
p3：?x∈(0，+∞)，(

1

2

)x＞log

1

2

x；     p4：?x∈(0，

1

3

)，(

1

2

)x＞log

1

3

x
其中的真命題是

④

．（填上正確命題的序號）①p₁，p₃②p₁，p₄③p₂，p₃④p₂，p₄．

Answer 1

分析：令函數y=(

1

2

)x與y=log

1

3

x圖象的交點為（x₀，y₀），易得當x∈（0，x₀）時，(

1

2

)x＜log

1

3

x，可得p₁的真假；同理可判斷p₃的真假；令x=

1

2

，可以判斷命題p₂的真假；令x∈(0，

1

3

)，可判斷p₄的真假，進而得到答案．

解答：解：p₁中，當x∈（0，+∞）時，函數y=(

1

2

)x與y=log

1

3

x，有一個交點（x₀，y₀）
當x∈（0，x₀）時，(

1

2

)x＜log

1

3

x，故p₁錯誤；
取x=

1

2

，則log

1

2

x=1，log

1

3

x=log32＜1，p2正確
p₁中，當x∈（0，+∞）時，函數y=(

1

2

)x與y=log

1

2

x，有一個交點（x₀，y₀）
當x∈（0，x₀）時，(

1

2

)x＜log

1

2

x，故p₃錯誤；
當x∈(0，

1

3

)時，(

1

2

)x＜1，而log

1

3

x＞1．p₄正確
故答案為：④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，熟練掌握指數函數和對數函數的圖象和性質，是解答本題的關鍵．