Question

已知函數f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24），知

a•b=6 b•a3=24

，由此能求出f（x）．
（2）設g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x，則y=g（x）在R上是減函數，故當x≤1時，g（x）_min=g（1）=

5

6

．由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24），
∴

a•b=6 b•a3=24

，解得a=2，b=3，
∴f（x）=3•2^x．
（2）設g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x，
∴y=g（x）在R上是減函數，
∴當x≤1時，g（x）_min=g（1）=

5

6

．
∴（

1

a

）^x+（

1

b

）^x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即2m-1≤

5

6

，
解得m≤

11

12

．
故實數m的取值范圍是（-∞，-

11

2

]．

點評：本題考查函數解析式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．