Question

已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）設a=2，函數f（x）的定義域為[3，63]，求函數f（x）的最值．
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，根據函數f（x）=log₂（x+1）為[3，63]上的增函數，求得函數的最值．
（2）f（x）-g（x）＞0，即log_a（1+x）＞log_a（1-x），分①當a＞1和②當0＜a＜1兩種情況，分別利用函數的單調性解對數不等式求得x的范圍．

解答：解：（1）當a=2時，函數f（x）=log₂（x+1）為[3，63]上的增函數，
故f（x）_max=f（63）=log₂（63+1）=6，f（x）_min=f（3）=log₂（3+1）=2．
（2）f（x）-g（x）＞0，即log_a（1+x）＞log_a（1-x），
①當a＞1時，由1+x＞1-x＞0，得0＜x＜1，故此時x的范圍是（0，1）．
②當0＜a＜1時，由0＜1+x＜1-x，得-1＜x＜0，故此時x的范圍是（-1，0）．

點評：本題主要考查指數函數的性質應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．