Question

若數列{a_n}滿足a₁=1，且 an+1=

an

1+an

（1）證明：數列{

1

an

}為等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的前n項和記為S_n，且s_n=2-b_n，n∈N^*，求數列{

bn

an

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）兩邊取倒數可得

1

an+1

=

1

an

+1，從而可知數列{

1

an

}為等差數列，且公差為1，可求得

1

an

，進而可得a_n；
（2）由b_n=S_n-S_n-1可得遞推式，由此可判斷數列{b_n}是等比數列，可求b_n，進而可求

bn

an

，利用錯位相減法可求得T_n；

解答：（1）證明：由已知得

1

an+1

=

1

an

+1，
所以數列{

1

an

}為等差數列，且公差為1，
又a₁=1，所以

1

an

=1+（n-1）•1=n，
所以an=

1

n

；
（2）解：由s_n=2-b_n，得b₁=1，
b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1）=b_n-1-b_n，
所以2b_n=b_n-1（n≥2），
則數列{b_n}是公比為

1

2

，b₁=1的等比數列，
所以bn=(

1

2

)n-1，
則

bn

an

=n•(

1

2

)n，
Tn=1+2×(

1

2

)+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，②
①-②得，

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=2-

2+n

2n

，
所以Tn=4-

2+n

2n-1

．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、等差數列等比數列的通項公式及錯位相減法對數列求和，屬中檔題．