Question

函數f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）在[-4，4]上的單調性是（　　）

A．增函數

B．減函數

C．在[-4，0]上是增函數，在[0，4]上是減函數

D．在[-4，0]上是減函數，在[0，4]上是增函數

Answer 1

分析：依題意，f（x）為奇函數，從而可得a=1，b=0，利用f（x）=x³-48x的導函數判斷即可．

解答：解：∵f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的圖象關于原點成中心對稱，
∴y=f（x）為奇函數，
∴f（0）=b=0，
f（-1）+f（1）=0，即-a+（a-1）-48（a-2）+a+（a-1）+48（a-2）=0
∴a=1，
∴f（x）=x³-48x，
∴f′（x）=3x²-48=3（x²-16），
當x∈[-4，4]時，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-4，4]上是單調減函數．
故選B．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，求得a=1，b=0是關鍵，屬于中檔題．