Question

已知曲線C：y=

1

x

的一條切線l與兩坐標軸交于A，B兩點，則線段AB長度的最小值為

 

．

Answer 1

分析：求出函數的定義域，設出切點，求出切點處的導數，由點斜式得到切線方程，求出切線在x軸和y軸上的截距，得到AB的長度，由基本不等式求得線段AB長度的最小值．

解答：解：函數y=

1

x

的定義域為（0，+∞），
設(x0，

1

x0

) （x₀＞0）為曲線C：y=

1

x

上的任意一點，
∵y′|x=x0=-

1

2 x03

，
∴曲線C在(x0，

1

x0

)處的切線方程為y-

1

x0

=-

1

2 x03

(x-x0)．
取y=0，得x=3x₀，
取x=0，得y=

3

2 x0

．
∴|AB|=

9x02+ 9 4x0

=

9x02+ 9 8x0 + 9 8x0

≥

3 3 9x02• 9 8x0 • 9 8x0

=

3× 9 4

=

3 3

2

．
故答案為：

3 3

2

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數最值，是中檔題．