Question

直線

x

4

+

y

3

=1與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相交于A、B兩點，橢圓上的點P使△PAB的面積等于12，這樣的點P共有（　　）個．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：求出P到AB的距離 h=

24

5

，作與AB平行的直線l，使l與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相切，設(shè)直線l的方程為

x

4

+

y

3

=k，
把l的方程代入橢圓方程化簡，由由判別式等于0 解得 k值，從而得到直線l的方程，求出直線l與AB間的距離，
將此距離和h作比較，從而得出結(jié)論．

解答：解：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=

1

2

AB•h，可得P到AB的距離 h=

24

5

．
作與AB平行的直線l，使l與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相切，設(shè)直線l的方程為

x

4

+

y

3

=k，
把l的方程代入橢圓方程化簡可得 x²-4kx+8k²-8=0，由判別式等于0 解得 k=

2

，或 k=-

2

，
故直線l的方程為 

x

4

+

y

3

=

2

，或 

x

4

+

y

3

= -

2

．
因為

x

4

+

y

3

=

2

 與AB的距離為 

| 2 -1|

1 16 + 1 9

=

12( 2 -1)

5

＜

24

5

，

x

4

+

y

3

= -

2

與AB的距離為 

|- 2 -1|

1 16 + 1 9

=

12( 2 +1)

5

＞

24

5

．故這樣的點P共有 2個，
故選 B．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩平行線間的距離公式，得到與AB平行的且與橢圓相切的切線l 的方程，是解題
的關(guān)鍵．