Question

已知等比數列{a_n}的各項都為正數，且當n≥3時，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，則數列2lga1，2lga2，2lga3，2lga4，…，2lgan，…的前n項和S_n等于

 

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Answer 1

分析：在等比數列{a_n}中，各項都為正數，且當n≥3時，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，得a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ；所以數列2lga1，2lga2，2lga3，2lga4，…，2lgan，…的前n項和S_n=2lga1+2lga2+2lga3+2lga4+…+2lgan=2^lg10+2lg102+2lg103+2lg104+…+2lg10n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ，可求得和．

解答：解：∵等比數列{a_n}的各項都為正數，且當n≥3時，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，∴a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ，（n∈N^*）；
∴數列2lga1，2lga2，2lga3，2lga4，…，2lgan，…的前n項和為：
S_n=2lga1+2lga2+2lga3+2lga4+…+2lgan=2^lg10+2lg102+2lg103+2lg104+…+2lg10n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題考查了等比數列前n項和公式的應用，也考查了指數與對數的運算法則；是考查基礎知識，基本能力的計算題目．