Question

已知數列{a_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N﹡．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}為等比數列；
（Ⅱ）令c_n=，T_n是數列{c_n}的前n項和，證明T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數列的遞推公式求數列的通項公式，根據等比數列的定義，只要證明是一個非零的常數即可；
（2）根據（1）中證明的結論，求出數列{a_n}的通項公式，從而求得數列{c_n}的通項公式，再求出其前n項和．
解答：（Ⅰ）證明：由題意得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
又a₁+1=2≠0．
所以數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅱ）解：由（1）知a_n=2ⁿ-1，
故，∴
=．
故T_n＜1．
點評：由數列的遞推公式，通過構造新的等比數列求數列的通項公式，是常考知識點，特別注意新數列的首項，裂項求和是常考數列求和的方法，并通過放縮法證明不等式．此題非常好，很典型．