Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB和C₁D所成的角（用反三角函數表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B₁C₁E的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）法一：利用平行四邊形的性質把其中一條平移及異面直線所成的角的定義、三角形中的三角函數的計算即可求出；
法二：建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量所成的角即可求出異面直線所成的角；
（Ⅱ）法一：過C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足為M，則M為A₁B₁的中點，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．連接DM，利用三垂線定理即可找出點E的位置；
法二：過E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA₁C₁C，連接A₁N．利用三垂線定理即可證明；
法三：建立空間直角坐標系，利用?=0即可求出；
（Ⅲ）法一：利用線面、面面垂直的判定和性質即可求出；
法二：利用“等積變形”即可求出．
解答：（Ⅰ）法一：取CC₁的中點F，連接AF，BF，則AF∥C₁D．
∴∠BAF為異面直線AB與C₁D所成的角或其補角．
∵△ABC為等腰直角三角形，AC=2，∴AB=．
又∵CC₁=2，∴AF=BF=．
∵cos∠BAF==，
∴∠BAF=，
即異面直線AB與C₁D所成的角為．
法二：以C為坐標原點，CB，CA，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，2，0），B（2，0，0），
C₁（0，0，2），D（0，2，1），
∴=（2，-2，0），=（0，2，-1）．由于異面直線AB與C₁D所成的角
為向量與的夾角或其補角．設與夾角為θ，
則cosθ==，θ=，
即異面直線AB與C₁D所成的角為arccosθ．
（Ⅱ）法一：過C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足為M，則M為A₁B₁的中點，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．連接DM．
∴DM即為C₁D在平面AA₁B₁B上的射影．要使得A₁E⊥C₁D，由三垂線定理知，只要A₁E⊥DM．
∵AA₁=2，AB=2，由計算知，E為AB的中點．
法二：過E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA₁C₁C．
連接A₁N．∴A₁N即為A₁E在平面AA₁C₁C上的射影．要使得A₁E⊥C₁D，由三垂線定理知，只要A₁N⊥C₁D．
∵四邊形AA₁C₁C為正方形，∴N為AC的中點，∴E點為AB的中點．
法三：以C為坐標原點，CB，CA，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A₁（0，2，2），B（2，0，0），A（0，2，0），
C₁（0，0，2），D（0，2，1），
設E點的坐標為（x，y，0），
要使得A₁E⊥C₁D，
只要=0，∵=（x，y-2，-2），=（0，2，-1），y=1．
又∵點E在AB上，∴，
，．
∴x=1．
∴E（1，1，0）．
∴E點為AB的中點．
（Ⅲ）法一：取AC中點N，連接EN，C₁N，
則EN∥B₁C₁．∵B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，∴面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C．
過點D作DH⊥C₁N，垂足為H，則DH⊥平面B₁C₁NE，
∴DH的長度即為點D到平面B₁C₁E的距離．
在正方形AA₁C₁C中，由計算知DH=，即點D到平面B₁C₁E的 距離．
法二：連接DE，DB₁．
在三棱錐D-B₁C₁E中，點C₁到平面DB₁E的距離
=，B₁E=，DE=，
又B₁E⊥DE，∴△DB₁E的面積==，
∴三棱錐C₁-DB₁E的體積為==1．
設點D到平面B₁C₁E的距離為d，在△B₁C₁E中，B₁C₁=2，B₁E=C₁E=，
∴△B₁C₁E的面積==．由=1，
得d=，即點D到平面B₁C₁E的距離．
點評：本題綜合考查了空間中的空間角、線面位置關系、空間距離，熟練掌握平行四邊形的性質、異面直線所成的角的定義、三角形中的三角函數的計算、三垂線定理、通過建立空間直角坐標系利用直線的方向向量及平面的法向量的夾角、?=0、線面與面面垂直的判定和性質、“等積變形”是解題的關鍵．